📌 投資的核心問題：要加多少槓桿？

投資的關鍵不只是選股或 ETF，更重要的是 資金部位應該放多大。

槓桿能放大報酬，但過度槓桿會讓投資人在黑天鵝事件中全軍覆沒。這就是凱利公式（Kelly Criterion）要解答的問題——「在長期投資下，最佳的槓桿倍數是多少？」

一、凱利公式的數學基礎

凱利公式源於通訊理論，後來被廣泛應用於金融領域，用來計算最大化長期幾何成長率的投入比例。

公式如下：

f* = (μ - r) / σ²

  • f* ：最佳槓桿倍數
  • μ ：資產預期報酬率
  • r ：無風險利率
  • σ² ：報酬的變異數

以美股大盤（S&P500、QQQ）為例：

  • 長期年化報酬 μ ≈ 8–10%
  • 波動率 σ ≈ 15–20%
  • 無風險利率 r ≈ 2–4%

計算後，最佳槓桿倍數約為 1.5–2 倍。

換句話說，若單純持有指數（1倍），其實低於理論最佳成長率；而適度加槓桿，能提高幾何增長率。

二、最佳槓桿數值

雖然「1.5倍 – 2倍」是合理區間，但若帶入更精準的參數，可以得到明確的數值。

假設：

  • 年化報酬 μ = 9%
  • 無風險利率 r = 3%
  • 波動率 σ = 18% → σ² = 0.0324

f* = (0.09 - 0.03) / 0.0324 ≈ 1.85

👉 精準數值落在 1.8 倍槓桿。

這也解釋了為什麼實務上會看到 1.8倍 – 2倍 槓桿被頻繁提及，因為它接近數學上的最佳值。

三、QQQ 歷史數據帶入

若以 QQQ（納斯達克 100 ETF）的實際歷史數據作為基礎，得到的數字更加明確：

  • 平均年化報酬 μ ≈ 10–11%
  • 波動率 σ ≈ 20% → σ² = 0.04
  • 無風險利率 r ≈ 3%

帶入計算：

f* = (0.11 - 0.03) / 0.04

= 0.08 / 0.04

= 2.0

👉 以 QQQ 來看，最佳槓桿倍數約為 2 倍。

若做不同假設：

  • μ = 10% → f* ≈ 1.75
  • μ = 12% → f* ≈ 2.25

因此 QQQ 的最佳槓桿範圍大約落在 1.7–2.2 倍，中心值就是 2.0。

QQQ 不同區間的最佳槓桿值

值得注意的是，QQQ 的最佳槓桿數值會隨取樣區間而有所差異。

  • 1999–2024 全期間：
    由於經歷了科網泡沫（-80%）與金融海嘯，拉低了整體報酬。以平均報酬約 8–9%、波動率 25% 估算，凱利最佳槓桿僅 約 0.9 倍。這意味著在這段高波動、極端回撤的年代，過度槓桿反而不利於長期幾何成長。
  • 2003–2024（泡沫後至今）：
    扣除科網泡沫後，QQQ 長期報酬上升至 11–12%，波動率回落至 20%。此時計算的最佳槓桿約 2.1 倍，這與我們之前推算的「1.7–2.2 倍」區間吻合，也是較合理的長期參考值。
  • 2010–2024（金融海嘯後）：
    在 AI、雲端與大型科技股推動下，QQQ 的年化報酬高達 15–17%，波動率反而下降至 18%。在這種樂觀情境下，凱利公式推算最佳槓桿甚至來到 4 倍。然而，這段「黃金時期」並非永續可複製，若以此作為槓桿基準，風險極高。

四、實務操作的智慧：巴菲特的「分數凱利」

雖然數學告訴我們 QQQ 的最佳槓桿 ≈ 2 倍，但巴菲特的操作更為保守。

透過 保險 float 與 低成本借貸，巴菲特長期隱含槓桿約 1.3–1.6，大約是 Half-Kelly 至 3/4 Kelly。

  1. 市場參數（報酬、波動率）並非恆定，估錯會變成過度槓桿。
  2. 黑天鵝事件比模型預測更常發生，必須保留安全邊際。
  3. 長期存活比短期極致更重要，能活過低谷才有複利效應。

👉 巴菲特的智慧在於：寧願少賺一點，也要確保自己永遠有子彈能在崩盤後加碼。換句話說，數學追求極致，但投資要以「活下去」為第一原則。

三、實證研究：1989–2020 回測（大仁哥分享）

根據《Leveraged ETF Investing》研究（1989–2020，含借貸成本）

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  • SPY（藍線）：標普 500 原型
  • VUSTX（綠線）：債券
  • SSO（紅線）：2 倍槓桿 ETF
  • 1.8 倍保證金槓桿（黑線）：模擬低利率借貸放大標普 500

三大觀察

  1. SSO 遠勝 SPY
    1990–2000 牛市為槓桿提供巨大安全邊際，即使後來遇到 -82% 回撤，仍大幅領先原型。
  2. 1.8 倍保證金勝過 SSO
    借貸成本僅 1.59%，遠低於 2 倍 ETF 在 1990 年代承受的高利率。
    👉 低成本外部槓桿優於 ETF 內建槓桿。
  3. 大漲階段曝險不足才是最大風險
    多數人因定期定額＋債券配置，實際曝險不足，錯過牛市財富累積。
    槓桿的最大價值，是降低「時間順序風險」，避免錯過關鍵的資產累積時期。

六、總結：理論最佳 vs 實務最佳 vs 歷史最佳

  • 理論最佳（凱利公式）：Beta ≈ 1.8–2.0
  • QQQ 實證：最佳值約 2 倍（範圍 1.7–2.2）
  • 實務最佳（巴菲特）：Beta ≈ 1.3–1.6
  • 實務建議（James 老師）：Beta ≈ 1.0–1.2
  • 歷史最佳（1989–2020 回測）：1.8 倍保證金槓桿 > 2 倍 ETF > SPY
  • 危險區（過度槓桿）：Beta > 2，幾何成長率下降，爆倉風險急升

📌 投資啟示：

  • 數學能推算最佳值，但現實世界必須同時考慮 風險、流動性、黑天鵝事件與心理承受度。
  • 真正可落地的最佳策略是：分數凱利 + 低成本槓桿 + 長期紀律。
  • QQQ 的理論最佳 ≈ 2 倍，但實務上更適合落在 1.0–1.6 倍：
    • James 老師的 1.0–1.2 倍：強調風險承受度與穩健性。
    • 巴菲特的 1.3–1.6 倍：保守的分數凱利，兼顧成長與安全邊際。
  • 從不同角度來看，數學、價值投資與實務風險管理最終交會在同一個答案——生存優先，長期複利才是真正的勝利。

補充

  • 1.8 倍保證金槓桿：
    這並不是 ETF，而是「VOO + 保證金貸款」的模擬投資組合。投資人買入指數基金，並透過融資貸款將曝險維持在 180%。由於假設借貸利率僅 1.59%，其表現優於 2 倍 ETF（SSO）。
  • CAPE（席勒本益比）＞30：
    CAPE（Cyclically Adjusted P/E Ratio，又稱 Shiller P/E、PE10），是用股價指數除以過去 10 年平均經通膨調整盈餘。長期均值約在 17–20，當 CAPE > 30，往往代表市場估值偏高，例如 1929、2000、2021 的高點。
  • 分數凱利（Fractional Kelly）的意思，凱利公式（Kelly Criterion） 計算出來的 f*，代表「理論上」能讓資產長期複利最大化的槓桿倍數。但全凱利（Full Kelly）雖然在數學上最佳，缺點是波動太大，投資人很難承受。所以實務上會用分數凱利（Fractional Kelly），意思就是只採用凱利公式建議值的一部分。簡單講就是分數凱利就是「不要照單全收凱利公式的數學答案，而是保守採用其中的一部分」。它的精神是 寧願犧牲一點報酬，也要大幅降低風險與爆倉機率。

參考資料

1. 理論研究（凱利公式）

  • Kelly, J. L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4), 917–926.
  • MacLean, L. C., Thorp, E. O., & Ziemba, W. T. (2011). The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice. World Scientific.
  • QuantStart. (2014). Money Management via the Kelly Criterion. QuantStart.com

2. 實證研究（槓桿 ETF、歷史回測）

  • Balcilar, M., Bouri, E., Gupta, R., & Wohar, M. E. (2017). Leverage and the Performance of Leveraged ETFs.
  • 《Leveraged ETF Investing》論文研究（1989–2020）：比較 SPY、VUSTX、SSO、1.8 倍保證金槓桿。
  • Shiller, R. J. (2015). Irrational Exuberance (3rd ed.). Princeton University Press. → CAPE（席勒本益比）數據來源。
  • Robert Shiller. Online Data: U.S. Stock Markets 1871–2024. http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm

3. 專家與投資人觀點

  • 巴菲特（Warren Buffett）多年致股東信，關於保險 Float 與低成本槓桿。
  • James 老師（CLEC 投資理財頻道）：實務建議槓桿僅 1–1.2 倍。
  • 大仁哥文章分享（社群貼文，整理自《Leveraged ETF Investing》研究）：強調 1.8 倍保證金槓桿 優於 2 倍 ETF，並凸顯「大漲階段曝險不足才是最大風險」。

原文發表於 方格子 Vocus